短く言えば、ここで入力したものは保存も送信もされません。
URL とオプション
貼り付けた URL と選んだオプションはブラウザの中に留まります。ページを共有したりブックマークできるようにアドレスバーには現れますが、サーバーに送られるのは JavaScript を無効にしてフォームを送信した場合だけです。その場合もページの描画に使われるだけで、こちらが保持するログにもデータベースにも書き込まれません。そもそもデータベースがないからです。
アカウント
ありません。登録するものも、ログインする先も、集めるメールアドレスもありません。
アクセス解析
この設置でアクセス解析が有効になっている場合、同意は既定で拒否の状態で動作します。あなたが同意するまで、解析用にも広告用にもストレージは使われません。拒否してもサイトの動作は何も変わりません。
Cookie
このサイトは Cookie を一つも置きません。同意前の解析用にも、自分自身の用途にもです。保持すべきセッションがないからです。--cookies-from-browser のようなオプションは、コマンドを実行したあとに、あなたのマシン上で yt-dlp があなた自身のブラウザの Cookie を読むという意味です。このサイトがそれを読むことはありません。
ホスティングのログ
ウェブサイトを運用する以上、ホスティング事業者は標準的なアクセスログ（IP アドレス、時刻、要求されたパス）を保持します。こちらでそれを分析することはありません。